Pertemuan 04 : Translasi dan Rotasi Sumbu

Translasi (Pergeseran)

Menggeser atau mentranslasikan suatu gambar sudah dikenal pada pelajaran matematika sebelumnya, pada saat mempelajari pergeseran pusat lingkaran

Jadi penggambaran lingkaran (x-2)²+(y-3)²=25,  pada koordinat-xy akan sama dengan u²+v²=25, pada koordinat-uv, yang mana sumbu-u sama dengan garis y=3 sedangkan sumbu-x sama dengan garis x=2.

Jadi jika sumbu baru (uv) dipilih sebagai translasi dari sumbu originalnya (xy), maka setiap titik akan memiliki dua macam koordinat. Satu dalam sumbu lama dan yang lainnya dalam sumbu yang baru

Pada gambar di atas terlihat bahwa titik P dapat dinotasikan dalam dua macam koordinat, yaitu dalam xy dan uv. Yang mana hubungan antara uv dan xy adalah

u=x-h  dan  v=y-k , atau

x=u+h dan y=v+k

Contoh 1 :

Buatlah translasi untuk menghilangkan suku2 berderajad 1

Solusinya

Gambarnya seperti ini

Contoh 2 :

Gunakan translasi untuk menyederhanakan persamaan berikut :

y² – 4x – 12y + 28 = 0

Kemudian tentukan bentuk konik nya, dan sketsa grafiknya !

Solusinya

Translasinya u=x+2 dan v=y-6, sehingga persamaannya menjadi

v² = 4u

Yaitu sebuah parabola horizonral, terbuka ke kanan dengan p=1. Dan inilah sketsa gambarnya

Rotasi Sumbu

Terlihat bahwa koordinat-uv merupakan koordinat-xy yang diputar ke kiri sejauh (ø + θ) derajad. Lalu bagaimana transformasi koordinatnya ?

Contoh 3 :

Carilah persamaan dalam koordinat-uv dari persamaan xy=1, setelah sumbu diputar sebesar θ = π/4 atau 45 derajad

Solusi :

Gunakan rumus di atas

Dan gambarnya menjadi

 

Bagaimana jika yang diberikan adalah hanya sebuah persamaan seperti ini (persamaan umum konik)

Jika menggunakan translasi tidak mungkin karena ada komponen campuran (kotak merah), jadi harus dirotasi. Jika dirotasi berapa sudutnya ? Karena tidak ada informasi tentang sudut, hanya persamaan itu saja.

Langkah-langkah menetuka sudut rotasi

Kemudian x dan y dalam fungsi uv diamsukkan ke dalam persamaan diatasnya. Kemudian persamaan disederhanakan menjadi

Dan masih ada komponen campuran yaitu b(uv). Agar nilai ini “0” maka b=0, sedangkan nilai be dihasilkan dari

Agar

Jika b sudah sama dengan 0, maka persamaan bisa diselesaikan dengan/tanpa translasi

Contoh 4 :

Solusi

Sketsa gambarnya